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Matemática

O paradoxo de Alice e o de Dom Quixote

Gerusa Alexsandra de Araújo

Professora de Matemática

O maior segredo é não haver mistério algum.

Renato Russo

Segundo o dicionário Houaiss a palavrinha paradoxo apresenta as seguintes definições:

  • No sentido lógico: raciocínio aparentemente bem fundamentado e coerente, embora esconda contradições decorrentes de uma análise insatisfatória de uma estrutura interna.
  • No sentido filosófico: pensamento, proposição ou argumento que contraria os princípios básicos e gerais que costumam orientar o pensamento humano, ou desafia a opinião consabida, a crença ordinária e compartilhada pela maioria.
  • No sentido existencial: argumento chocante e inusitado por refletir o absurdo em que está imersa a existência humana (ver Pascal e Kierkegaard).

Os paradoxos clássicos na matemática, surgiram da crença de que qualquer atributo razoável - qualquer descrição verbal que parecesse fazer sentido - poderia ser usado para definir um conjunto, o conjunto de objetos que gozassem da propriedade enunciada. O primeiro computador criado para resolver problemas de lógica foi construído por estudantes da Universidade de Harvard. Quando pediram à máquina que testasse a veracidade ou falsidade do paradoxo do mentiroso: "Esta frase é falsa", o computador entrou em oscilações indefinidamente entre Verdadeiro-falso-verdadeiro-falso...

Destaca-se, entre outros trabalhos, Principia Mathematica de Bertrand Russell (cap. 8).

Onde é definido um "misterioso" tipo de conjunto: um R-conjunto é como um conjunto que se autoinclui. Considera-se então um outro conjunto M cujo os elementos são todos os conjuntos possíveis, exceto os conjuntos R-conjuntos. Após estes esclarecimentos são feitas duas perguntas:

  1. M é um R-conjunto?
  2. M não é um R-conjunto?

Supreendentemente, a resposta é a mesma para as duas perguntas!!! Não e Não.

Uma outra fonte de paradoxos circulares (laços bizarros) é o livro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, de Douglas Hofstadter. Nesse nosso artigo apresentamos dois famosos paradoxos encontrados na arte literária. O primeiro é conhecido por "paradoxo de Alice", criado por Lewis Carroll (pseudônimo do matemático Charles Lutwidge Dodgson) no livro Alice através do espelho, e o segundo é chamado "paradoxo de Dom Quixote", criado por Miguel de Cervantes no seu livro Dom Quixote de la Mancha. Os paradoxos são ferramentas importantes quando queremos testar se delimitamos apropriadamente as nossas ideias lógicas. Com eles podemos destruir ou enriquecer uma teoria.

O Paradoxo de Alice

No capítulo 4, Alice encontrou o Rei vermelho dormindo. O personagem Tweedledee diz então a Alice que o Rei sonha com ela, mas que ela não tem existência real, é apenas "uma espécie de coisa" no sonho do Rei. "Se o Rei acordasse", acrescenta Tweedledum (irmão gêmeo de Tweedledee), "você sumiria... puf!... exatamente como a chama de uma vela!". Até aí nada demais. O problema é que esse episódio ocorre no sonho de Alice (revelação final do livro). Assim será o Rei uma "coisa" no sonho de Alice, ou será ela uma "coisa" no sonho dele? O que é real, o que é sonho? Certa vez, Bertrand Russell ao comentar sobre este paradoxo circular observou: "Se não o encarássemos com humor, nos pareceria doloroso demais". Você concorda com Russell?

O Paradoxo de Dom Quixote

No capítulo 51, Sancho Pança, o fiel escudeiro de Dom Quixote, torna-se governador de uma ilha com uma lei muitíssima curiosa. O guardião da ilha deveria perguntar a cada visitante o motivo da visita. Se o visitante responder a verdade, tudo o.k. Mas caso mentisse, o visitante seria enforcado. O problema é que num belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilha para ser enforcado! E agora? O visitante deveria ou não ser enforcado? Se não o enforcassem, ele teria mentido: portanto deveria ser enforcado. Mas se o enforcassem ele teria falado a verdade e não deveria ser enforcado. Na história de Cervantes, o governador é bonzinho e liberta o visitante. Você faria o mesmo?

Terminamos o a nossa brevíssima excursão pelo sombrio vale dos paradoxos com revelações "íntimas" de dois matemáticos:

Eu queria certeza da mesma maneira que as pessoas querem fé religiosa. Eu pensava que a certeza é mais provável de ser encontrada na matemática do que em qualquer outra coisa. Mas descobri que muitas demonstrações matemáticas, que meus professores esperavam que eu aceitasse, estavam cheias de falácias, e que, se a certeza pudesse realmente ser descoberta na matemática, seria em um novo campo da matemática, com fundamentos mais sólidos do que os que tinham até então considerados seguros. Mas enquanto o trabalho prosseguia, eu me lembrava constantemente da fábula sobre o elefante e a tartaruga. Tendo construído um elefante sobre o qual poderia repousar o mundo matemático, vi que o elefante cambaleava, e passei a construir uma tartaruga, para evitar que ele caísse. Mas a tartaruga não estava mais segura do que o elefante, e após uns vinte anos de trabalho muito árduo, cheguei à conclusão de que não havia mais nada que eu pudesse fazer a fim de tornar o conhecimento matemático indubitável.

(Bertrand Russell)

O objetivo de minha teoria é estabelecer de uma vez por todas a certeza dos métodos matemáticos... O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos, é intolerável. Imaginem as definições e os métodos dedutivos que todos aprendem, ensinam e usam em matemática, os paradigmas de verdade e de certeza, conduzindo a absurdos! Se o pensamento matemático é defeituoso, onde acharemos verdade e certeza?"

(David Hilbert)

Referências:

  • Lewis Carroll; Aventuras de Alice no País das Maravilhas e Alice Através do Espelho, edição comentada, Jorge Zahar editor
  • Martin Gardner; Ah, Apanhei-te, coleção o prazer da matemática, editora Gradiva
  • P.J. Davis, R. Hersh; A Experiência Matemática

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Publicado em 14 de junho de 2005